복잡한 세상을 이기는 수학의 힘 - 류쉐펑

사회, 문화, 기술 등 우리 삶의 구석구석 수학이 작용한다.


[본문발췌]

수학적 발견의 원동력은 논리적인 추론이 아니고 상상력이다. - 드모르간


인생과 알고리즘은 무언가를 설계한다는 면에서 닮았다. 설계가 성공하려면 논리적 사고, 경험과 인식 등이 필요하며 특히 창의성은 결코 빠질 수 없다. 


나는 인생이 '최적해를 찾아가는 과정'이라고 생각한다. 우리는 항상 끊임없이 노력해 자신을 발전시켜 자신이 다다를 수 있는 가장 높은 위치에 오르고 싶어 한다. 하지만 담금질 기법 알고리즘은 우리에게 다음과 같은 사실을 알려준다. 
젊은 시절 충분히 탐색하고 잠깐의 불완전함을 받아들여야 특정 영역에서 최대인 국소 최적에 빠지지 않고 더 높은 정상에 오를 수 있다. 그리고 일정 단계에 이르러 자신에게 가장 적합한 것이 무엇인지 알게 되면 그곳에서 깊이 탐색하려 할 뿐 쉽게 코스를 바꾸지 않는다. 따라서 학교를 졸업한 이후에는 다양한 경험을 쌓고 여러 직업을 시도해야 하며, 눈앞의 안정성만을 좇아 전망이 좋지 않은 직장에 안주해 평생을 바치려 해서는 안 된다.


우리는 어린 시절 '노력하면 성공한다'라는 세계관을 교육받는다. 하지만 이런 세계관을 가진 사람은 평소에는 낙관적이고 적극적이더라도 좌절이 순간에는 쉽게 무력감에 빠진다. 반면 또 다른 세계관인 '숙명론'을 가진 사람은 모든 것은 이미 정해져 있으니 바뀔 것은 없다고 생각한다. 하지만 내가 개인적으로 생각했을 때 가장 정확한 세계관은 두 세계관 사이에 있는 '확률적 세계관'이다. 확률적 세계관의 핵심 사고는 아주 간단하다. 일의 최종 결과는 우리가 정할 수 없지만, 해당 결과가 발생할 확률은 노력을 통해 바꿀 수 있다.

확률적 세계관은 ‘일을 꾸미는 것은 사람이지만 성사 여부는 하늘에 달려 있다’라는 고사성어와 상통하는 부분이 있다. ‘일을 꾸미는 것은 사람이다.’라는 것은 ‘노력으로 성공 확률을 높일 수 있다’는 의미이다. 그리고 ‘성사 여부는 하늘에 달려 있다는 것’은 ‘열심히 노력해 만반의 준비를 마쳤다고 해도 확률상 반드시 성공하는 것은 아니다’라는 의미다.

확률에서 반복은 성공 확률을 더 높일 수 있다. 반대로 노력해도 확률을 바꿀 수 없다면 아무것도 하지 말아야 한다.


서로 다른 각도에서 문제를 바라보는 사람들끼리 모여 함께 토론해 얻은 공통된 의견이 진실에 더 가까울 수 있다. 이것 또한 바로 다양성의 이점이다. 하나의 방정식은 하나의 각도에서 관찰해 얻은 결과이다. 그러니 만약 우리가 다양한 각도에서 관찰을 진행한다면 연립 방정식을 얻을 수 있다. 그리고 이 연립 방정식을 풀어가는 과정은 다양한 각도에서 관찰한 결과를 종합해 내부 본질을 찾아가는 과정이다. 

서로의 시각이 너무 비슷하면 의견을 취합해 얻은 공통된 의견이 잡음에 상당히 민감해진다. 그래서 아주 작은 잡음에도 결과는 심각한 영향을 받을 수 있다. 한마디로 말해서 '약간의 실수가 1마일이나 벗어난 것과 같다'라는 결과를 얻게 된다.


시스템에 하나의 입력이 주어지면 그에 따른 응답이 있다. 만약 입력이 어떤 펄스와 유사한 일회성 자극일 경우 시스템의 응답은 일반적으로 0에서부터 시작해 최고점이 이른 뒤 다시 서서히 내려가 0에 이르는 상태를 보인다. 연속적으로 신호가 입력될 경우 우리는 해당 입력 신호들을 개별적인 펄스로 나눈 뒤 하나의 펄스가 순차적으로 시스템에 입력되어 작용하게 할 수 있다. 합성곱은 펄스 연쇄에 대한 시스템의 반응이 각각의 펄스에 대한 반응의 합이라는 것을 알려준다. 합성곱은 우리가 일상에서 선택해야 할 때도 도움을 줄 수 있다. 예를 들어 빈번하게 찾아오는 소확행이 아주 가끔 찾아오는 대확행보다 훨씬 큰 행복감을 가져다준다는 점이나, 대도시의 직장인은 작은 평수라도 시내 중심에 있는 집을 구매하는 게 교외에 있는 넓은 집을 구입하는 것보다 낫다는 점이나, 단어를 중복해 외우는 시간 간격이 너무 길면 기억할 수 없다는 것처럼 말이다.


사물이든 사람이든 고유의 특징을 가지고 있다. 특징을 장점으로 바꿀 방법을 찾을 수 있다면 사물이 가진 가치를 충분히 쓸 수 있고, 사람이 가진 능력을 충분히 발휘할 수 있다.


'장단점'의 세 가지 관점.
첫 번째, 모든 일에는 장점이 있으면 단점이 있고, 단점이 있으면 장점이 있다. 
두 번째, 장단점은 절대적이지 않다. 단점만 있거나 장점만 있는 상황은 거의 없고, 대부분 특징만 있다. 어떤 특징이 장점이 될지 단점이 될지는 상황 판단에 달려 있다. 그러니 특징이 장점으로 변할 수 있는 요소를 찾아 장점을 발휘할 수 있게 하는 게 가장 중요하다. 
세 번째, 통제 가능한 단점을 활용해 더 큰 장점으로 바꾸는 것은 문제를 해결하는 효과적인 전략 중 하나이다.


고대 그리스 스토아학파의 철학자 에픽테토스는 "인간은 사물 자체에 영향을 받는 게 아니라 사물을 바라보는 자신의 관점에 의해 좌우된다"라고 말했다. 쇼펜하우어도 "사물에 대한 말의 의미가 우리를 행복하게도 하고 불행하게도 한다. 이것은 우리가 그것들을 어떻게 바라보는지를 결정할 뿐 사물 본래의 모습을 결정하지는 않는다"라고 말했다. 사실 주변에는 두 가지 관련되어 보이는 사건이 실제로는 또 다른 사건에 관한 조건부 독립인 경우가 많다. 그러니 우리가 배후에 있는 '또 다른 사건'을 파헤치지 않는다면 '관련성'을 '인과성'으로 쉽게 오해하게 된다.


피드백은 시스템이 결함 허용Fault Tolerance과 강인성Robustness을 갖게 한다. 피드백을 운용하면 사전 설계를 정확하게 할 필요가 없다. 그저 시시각각 실제 상황을 관찰하며 실제 상황과 목표의 편차를 조정한다면 목표에 도달할 수 있다.


기존 어떤 사물을 모방해서 혁신을 진행하고 싶다면 먼저 사물이 가지고 있는 역할을 분명히 이해해야 한다. 사물의 핵심 요소와 불필요한 제약이 무엇인지 파악한 뒤 핵심 요소만 추출하고 불필요한 제약을 제거한다면 더 좋게 개선할 수 있다. 즉 혁신을 효과적으로 이루는 과정 중 하나는 바로 본질을 파악하고 제약을 제거하는 것이다. 일반적으로 먼저 아래에서 위로 향했다가 다시 위에서 아래로 향하는 과정을 거친다. 아래에서 위로 향하는 것은 사물의 겉모습에서 본질을 파악하고 핵심 원리를 발견해 구체적인 상황에 대한 제약이 무엇인지를 아는 것이다. 그리고 위에서 아래로 향하는 것은 본질과 원리를 바탕으로 불필요한 제약을 제거한 뒤 자신의 상황에 맞는 개선을 진행하는 것으로 핵심 원리를 바탕으로 자신의 상황을 더욱 좋게 만들 수 있다.


우리는 다름을 이해할 필요가 있다. 서로 반대되는 의견 속에서 새로운 방법이 제시되고, 서로의 의견을 취합하는 과정에서 최종 방안을 얻을 수 있으니 말이다.
최소제곱법은 연립 방정식의 모든 방정식을 완벽하게 만족시킬 수 있는 해가 없다는 전제하에서 모든 방정식의 균형을 이룰 수 있는 해를 찾는 것이다. 최소제곱법에 담긴 사고는 중용의 지혜와 일맥상통한다. 바로 세계는 불완전하다는 점을 받아들이고 어느 한쪽으로 치우치지 않고 다양한 방면 사이에서 균형을 찾아 양 끝을 잡고 중용을 실천하는 것이다.

세계는 본질적으로 불완전하다. 그러니 우리는 부분적으로 완벽한 것을 추구하기보다는 불완전하다는 사실을 받아들이고 여러 방면의 이익을 두루 고려해 최적의 균형점을 찾아야 한다.


"기계의 경우 반직관적이지만 명확한 규칙을 가지고 있다. 복잡한 기계는 반드시 점진적이며, 대부분 간접적으로 완성되어야 한다. 모든 기능을 가진 시스템을 단 한 번의 화려한 조립으로 완성해낼 수 있다고 생각해서는 안 된다. 먼저 실행 가능한 시스템을 만들어 최종적으로 만들고 싶은 시스템의 토대로 삼아야 한다. 복잡한 기계를 조립하는 과정에서 수확 체증Increasing Return은 여러 차례 끊임없는 시도를 통해 비로소 얻어질 수 있다. 그리고 그것은 사람들이 말하는 '성장' 과정이다." -<와이어드>의 창간자이자 수석 편집장인 작가 케빈 켈리가 <통제 불능Out of Control>에서 한 말


싱글 태스크 학습은 어떤 임무에 대한 훈련을 진행하는 것으로 훈련을 끝내면 해당 임무를 아주 잘 완성할 수 있게 된다. 하지만 임무는 기본적으로 서로 관련이 있는 경우가 많다. 만약 우리가 한 사람에게 여러 임무를 동시에 훈련하게 한다면 그 사람은 단일 임무만 훈련한 사람보다 훨씬 유능할 것이다. 반면 전이 학습은 어떤 영역에서 학습한 지식을 다른 영역에서 응용하는 데 초점이 맞춰져 있고 이에 우리는 다른 영역으로 전이가 가능한 기초 능력을 기르는 데 집중하게 된다. 이와 같은 싱글 태스크 학습, 멀티 태스크 학습, 전이 학습은 현재의 기능에 치중해 있지만 메타 학습은 미래에 치중해 있다. 메타 학습 능력을 갖춘 사람은 당장 새로운 임무를 완성할 수는 없지만 짧은 훈련만으로 빠르게 파악해 임무를 완성할 수 있다. 


명확하게 표현하는 방법은 먼저 중요한 정보를 말하고 사소한 부분을 서서히 덧붙여 설명한다. 이런 방식은 '중요한 부분에서부터 부가적인 부분으로의 증량식 표현'이라고 부른다.
 
 

 
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